Smallness Problem for Quantum Affine Algebras and Quiver Varieties

The geometric small property (Borho-MacPherson [BM]) of projective morphisms implies a description of their singularities in terms of intersection homology. In this paper we solve the smallness problem raised by Nakajima [N8, N6] for certain resolutions of quiver varieties [N8] (analogs of the Springer resolution) : for Kirillov-Reshetikhin modules of simply-laced quantum affine algebras, we characterize explicitly the Drinfeld polynomials corresponding to the small resolutions. We use an elimination theorem for monomials of Frenkel-Reshetikhin q-characters that we establish for non necessarily simply-laced quantum affine algebras. We also refine results of [He4] and extend the main result to general simply-laced quantum affinizations, in particular to quantum toröıdal algebras (double affine quantum algebras). 2000 Mathematics Subject Classification: Primary 17B37, Secondary 14L30, 81R50, 82B23, 17B67. PROBLÈME DE PETITESSE POUR LES ALGÈBRES AFFINES QUANTIQUES ET LES VARIÉTÉS CARQUOIS RÉSUMÉ. La propriété géométrique de petitesse (Borho-MacPherson [BM]) des morphismes projectifs implique une description de leurs singularités en termes d’homologie d’intersection. Dans cet article nous résolvons le problème de petitesse posé par Nakajima [N8, N6] pour certaines résolutions de variétés carquois [N8] (analogues de la résolution de Springer) : pour les modules de Kirillov-Reshetikhin des algèbres affines quantiques simplement lacées, nous caractérisons explicitement les polynômes de Drinfeld correspondant aux résolutions petites. Nous utilisons un théorème d’élimination pour les monômes des q-caractères de Frenkel-Reshetikhin, que nous établissons pour les algèbres affines quantiques non nécessairement simplement lacées. Nous raffinons également des résultats de [He4] et étendons le résultat principal aux affinisées quantiques générales simplement lacées, en particulier aux algèbres toröıdales quantiques (algèbres quantiques doublement affines).